Calcul intégral – Fiche de révision

Sommaire
Introduction
Notion de calcul intégral
1 Définition
2 Différentes formes
Application aux fonctions continues
1 Théorème fondamental du calcul intégral
2 Méthodes pour intégrer
Dérivées secondes et intégrales
Conclusion

Introduction

Le calcul intégral est une branche importante du calcul qui concerne principalement la dérivation et l’intégration de fonctions. Il est souvent nécessaire de connaître les principes de base du calcul intégral lorsque l’on étudie d’autres domaines du calcul, tels que la géométrie, la physique ou la chimie.

Il est important de bien comprendre les concepts de dérivation et d’intégration, car ils sont souvent utilisés dans la vie quotidienne. Par exemple, lorsque vous conduisez, vous utilisez la dérivation pour calculer votre vitesse et l’intégration pour calculer votre distance parcourue. De même, en géométrie, la dérivation permet de calculer la pente d’une courbe et l’intégration permet de calculer l’aire d’une surface.

Dans cet article, nous allons vous donner une fiche de révision du calcul intégral. Vous y trouverez les concepts de base du calcul intégral, ainsi que des exercices pour vous entraîner.

Notion de calcul intégral

Le calcul intégral est une branche importante du calcul qui s’intéresse aux primitive d’une fonction et à l’aire sous sa courbe. De nombreuses applications pratiques du calcul intégral existent, notamment en physique et en chimie.

Définition

On appelle primitive d’une fonction f une fonction g telle que g'(x)=f(x) pour tout x dans l’intervalle considéré.

La primitive d’une fonction f est donc une fonction qui a la même courbe que f, mais dont la tangente en chaque point est parallèle à l’axe des x.

La primitive d’une fonction f est notée P(x).

Dans le cas où f est une fonction continue sur [a,b], on peut définir l’aire sous sa courbe comme étant :

Aire = Intégrale de f(x)dx

Notion d’intégrale

L’intégrale d’une fonction f sur un intervalle [a,b] est la zone délimitée par la courbe de f, les abscisses a et b, et les ordonnées horizontales correspondant aux extrémités de l’intervalle.

L’intégrale d’une fonction f sur un intervalle [a,b] est notée :

Intégrale de f(x)dx sur [a,b]

On peut aussi l’écrire :

∫abf(x)dx

Pour calculer l’intégrale d’une fonction, on utilise une technique appelée « méthode des rectangles ».

On commence par découper l’intervalle [a,b] en petits intervalles égaux, appelés « intervalles de calcul ».

On place ensuite un rectangle sous chaque intervale de calcul, de sorte que son sommet touche la courbe de la fonction en un seul point.

La hauteur de chaque rectangle est égale à la valeur de la fonction en ce point.

On calcule ensuite l’aire de chaque rectangle, et on les additionne toutes ensemble.

Plus on prend d’intervalles de calcul, plus on se rapproche de la valeur exacte de l’aire sous la courbe.

La primitive d’une fonction f est donc l’aire sous sa courbe, c’est-à-dire l’intégrale de f(x)dx sur l’intervalle considéré.

Applications du calcul intégral

Le calcul intégral trouve de nombreuses applications dans la vie quotidienne.

En physique, il est notamment utilisé pour calculer les déplacements, les vitesses et les accélérations.

En chimie, il permet de déterminer les concentrations en fonction du temps lors d’une réaction chimique.

Il est également utilisé en géographie pour calculer les surfaces, les volumes et les flux de fluides.

1 Définition

Le calcul intégral est une branche du calcul qui s’intéresse à la dérivation et à l’intégration de fonctions. C’est une technique qui permet de calculer les aires, les volumes et les surfaces de certaines formes.

Elle est souvent utilisée en physique et en ingénierie, car elle permet de modéliser et de résoudre de nombreux problèmes.

2 Différentes formes

L’intégration est une branche importante du calcul qui concerne la détermination de la surface ou de la zone entre une courbe et l’axe des x. Cela peut sembler abstrait, mais en réalité, on intègre tous les jours sans même s’en rendre compte. La détermination du volume d’un objet, par exemple, est une application directe de la technique d’intégration. Dans cet article, nous allons revoir les différentes formes de calcul intégral et comment les utiliser pour résoudre des problèmes de la vie réelle.

Il existe deux principaux types de calcul intégral, le calcul intégral defini et le calcul intégral indéfini. Le calcul intégral defini s’applique lorsque vous savez les limites de la surface ou de la zone que vous cherchez à déterminer. Le calcul intégral indéfini, quant à lui, s’applique lorsque vous ne connaissez pas les limites de la surface ou de la zone. Les deux types de calcul intégral sont utilisés pour résoudre des problèmes différents, mais ils peuvent être utilisés ensemble pour trouver une solution plus complète.

Le calcul intégral defini s’applique aux problèmes où vous connaissez les limites de la surface ou de la zone que vous cherchez à déterminer. Pour résoudre un problème de calcul intégral defini, vous devez déterminer la fonction qui représente la surface ou la zone, puis vous intégrerez cette fonction entre les limites que vous connaissez. Le calcul intégral defini est souvent utilisé pour calculer des volumes, des aires ou des longueurs de courbes.

Pour calculer le volume d’un objet, on utilise souvent la technique du calcul intégral defini. Pour ce faire, on doit d’abord déterminer la fonction qui représente la surface de l’objet. Cette fonction est généralement exprimée en coordonnées cylindriques, car il est plus facile de déterminer la surface d’un objet en trois dimensions en utilisant ce type de coordonnées. Une fois que la fonction est déterminée, on l’intègre entre les limites qui représentent les dimensions de l’objet.

Le calcul intégral indéfini s’applique aux problèmes où vous ne connaissez pas les limites de la surface ou de la zone que vous cherchez à déterminer. Pour résoudre un problème de calcul intégral indéfini, vous devez déterminer la fonction qui représente la surface ou la zone, puis vous intégrerez cette fonction entre les limites que vous connaissez. Le calcul intégral indéfini est souvent utilisé pour calculer des aires, des longueurs de courbes ou des volumes.

Application aux fonctions continues

Le calcul intégral s’applique aux fonctions continues. Une fonction est continue si elle est dérivable en tout point de son domaine. Le calcul intégral permet de calculer la surface située sous la courbe représentative d’une fonction continue en un intervalle donné.

Pour calculer l’aire située sous la courbe d’une fonction continue, on utilise la formule suivante :

Aire = intégrale de la fonction sur l’intervalle considéré

Pour calculer l’aire, on doit donc d’abord calculer l’intégrale de la fonction. Il existe plusieurs méthodes pour calculer l’intégrale d’une fonction, mais la méthode la plus courante est l’intégration par parties.

L’intégration par parties est une méthode qui consiste à décomposer une fonction en deux ou plusieurs fonctions plus simples, puis à calculer l’intégrale de chacune de ces fonctions. Cette méthode est particulièrement utile lorsque la fonction à intégrer est composée de plusieurs termes, chacun étant plus simple que le précédent.

Pour appliquer cette méthode, on doit d’abord choisir une fonction u et une fonction v tels que :

f(x) = u(x)v'(x)

Ensuite, on calcule l’intégrale de chacune des deux fonctions u et v. La formule finale de l’intégrale de la fonction f est alors :

intégrale de f(x) = intégrale de u(x)v'(x) = u(x)v(x) – intégrale de v(x)u'(x)

Il existe plusieurs méthodes pour choisir les fonctions u et v. La méthode la plus courante est de prendre u(x) = f(x) et v(x) = x. Cette méthode est valable pour de nombreuses fonctions, mais elle ne fonctionne pas toujours. Il existe cependant d’autres méthodes, qui sont un peu plus complexes mais permettent de calculer l’intégrale de presque toutes les fonctions.

Une fois que l’on a choisi les fonctions u et v, il est souvent possible de simplifier la formule finale de l’intégrale. En effet, il est souvent possible de factoriser u(x) et v(x) de manière à obtenir :

intégrale de f(x) = u(x)v(x) – intégrale de v(x)u'(x) = [u(x)v(x)] – [v(x)u'(x)]

Dans la plupart des cas, il est possible de factoriser les deux termes de la formule, ce qui permet de simplifier considérablement le

1 Théorème fondamental du calcul intégral

Le théorème fondamental du calcul intégral est un théorème important qui permet de calculer l’aire d’une surface en fonction de la courbe qui la délimite. Ce théorème est fondamental car il est utilisé dans de nombreuses applications, notamment en géométrie et en physique.

Pour calculer l’aire d’une surface, on doit d’abord la délimiter par une courbe. Cette courbe est appelée contour d’intégration. Le théorème fondamental du calcul intégral est ensuite utilisé pour calculer l’aire de la surface en fonction du contour d’intégration.

Le théorème fondamental du calcul intégral est un théorème mathématique qui est utilisé pour calculer l’aire d’une surface en fonction de la courbe qui la délimite. Ce théorème est fondamental car il est utilisé dans de nombreuses applications, notamment en géométrie et en physique.

2 Méthodes pour intégrer

L’intégration est une technique de mathématiques utile pour calculer des aires, des volumes et des probabilités. Il existe deux méthodes principales pour effectuer des calculs intégrés : la méthode des rectangles et la méthode des trapèzes.

La méthode des rectangles est la plus simple des deux méthodes. Pour utiliser cette méthode, vous devez diviser le domaine d’intégration en petits rectangles de largeur égale. Ensuite, vous devez calculer la hauteur de chaque rectangle et ensuite faire la somme de toutes les hauteurs. Cette méthode est approximative et donc moins précise que la méthode des trapèzes.

Pour utiliser la méthode des trapèzes, vous devez diviser le domaine d’intégration en petits trapèzes. Ensuite, vous devez calculer la hauteur de chaque trapèze en prenant la moyenne des deux sommets du trapèze. Enfin, vous devez faire la somme de toutes les hauteurs. Cette méthode est plus précise que la méthode des rectangles, car elle tient compte de la pente de la courbe.

Dérivées secondes et intégrales

La dérivée seconde d’une fonction f au point x est la limite du quotient entre la différence de fonction f(x+h)-f(x) et h lorsque h tend vers 0. On note cette dérivée f »(x).

La dérivée seconde d’une fonction f au point x permet de calculer la pente de la courbe en x. C’est-à-dire, plus f »(x) est grand, plus la courbe est raide en x.

La dérivée seconde s’applique également aux vecteurs. La dérivée seconde d’un vecteur v au point x est la limite du quotient entre la différence de vecteur v(x+h)-v(x) et h lorsque h tend vers 0.

L’intégrale d’une fonction f sur un intervalle [a,b] est la somme des aires des rectangles de largeur h=b-a et de hauteur f(x) situés sous la courbe de f, pour x allant de a à b. On note cette intégrale ∫f(x)dx.

L’intégrale d’une fonction f sur un intervalle [a,b] permet de calculer l’aire située entre la courbe de f, l’axe des x et les droites d’équation x=a et x=b.

L’intégrale d’une fonction f sur un intervalle [a,b] s’applique également aux vecteurs. L’intégrale d’un vecteur v sur un intervalle [a,b] est la somme des aires des rectangles de largeur h=b-a et de hauteur v(x) situés sous la courbe de v, pour x allant de a à b.

Conclusion

La conclusion est l’étape finale du processus de calcul intégral. Après avoir identifié et évalué les fonctions et les limites, vous devez résoudre l’intégrale en utilisant les règles de calcul intégral. Ce processus peut être accompli à l’aide d’une calculatrice ou d’un programme de calcul intégral, mais il est important de comprendre les concepts de base avant de pouvoir utiliser ces outils.

Une fois que vous avez résolu l’intégrale, vous pouvez utiliser la valeur obtenue pour calculer une surface ou une aire, en fonction de l’application. Vous pouvez également utiliser la valeur obtenue pour trouver une probabilité dans certains cas. Par exemple, si vous intégrez une fonction de densité de probabilité, vous pouvez trouver la probabilité qu’un événement se produise.

En résumé, le calcul intégral est une technique mathématique qui vous permet de trouver la surface ou l’aire d’une zone définie par une fonction. Vous pouvez également utiliser cette technique pour trouver la probabilité qu’un événement se produise lorsque vous intégrez une fonction de densité de probabilité.