Fonctions – Fiche de révision

Sommaire
Introduction
Qu’est-ce qu’une fonction ?
Types de fonctions
1 Fonctions linéaires
2 Fonctions polynôme
3 Fonctions exponentielles
4 Fonctions logarithmes
Exemples de fonctions
Conclusion

Introduction

Une fonction est une relation entre des éléments d’un ensemble X et les éléments d’un ensemble Y.

On note f:X→Y

La fonction f est déterminée par :

– un ensemble X appelé domaine,
– un ensemble Y appelé co-domaine,
– une règle de correspondance entre les éléments de X et les éléments de Y.

Soit f:X→Y une fonction.

Pour tout x appartenant à X, on note f(x) l’image de x par f.

L’ensemble des images de X par f est appelé image de f et on note Im(f).

Im(f)={f(x)|x∈X}

Si f(x1)=f(x2), on dit que x1 et x2 sont équivalents pour f et on note x1≡x2(modf).

L’ensemble des équivalents de x pour f est appelé classe d’équivalence de x pour f et on note [x]f.

[x]f={y∈X|y≡x(modf)}

Qu’est-ce qu’une fonction ?

Une fonction est une relation mathématique entre une variable d’entrée et une variable de sortie. Elle permet de modéliser une situation dans laquelle on cherche à déterminer une valeur à partir d’une autre valeur. Les fonctions sont couramment utilisées en programmation informatique pour décrire des algorithmes.

Il existe différents types de fonctions, notamment les fonctions linéaires, les fonctions quadratiques, les fonctions polynomiales et les fonctions exponentielles. Chacune de ces fonctions est caractérisée par une formule particulière.

Les fonctions linéaires sont des fonctions qui peuvent être représentées sous la forme d’une droite. Elles sont définies par une équation de la forme y = ax + b, où a est le coefficient directeur et b est l’ordonnée à l’origine.

Les fonctions quadratiques sont des fonctions qui peuvent être représentées sous la forme d’une parabole. Elles sont définies par une équation de la forme y = ax² + bx + c, où a est le coefficient du terme du second degré, b est le coefficient du terme du premier degré et c est le terme constant.

Les fonctions polynomiales sont des fonctions qui peuvent être représentées sous la forme d’une courbe. Elles sont définies par une équation de la forme y = a0x^n + a1x^(n-1) + … + an, où a0, a1, …, an sont des coefficients et n est l’exposant.

Les fonctions exponentielles sont des fonctions qui peuvent être représentées sous la forme d’une courbe. Elles sont définies par une équation de la forme y = a^x, où a est le coefficient et x est l’exposant.

Types de fonctions

Il existe plusieurs types de fonctions, chacune avec ses propres caractéristiques et utilisations :

– Les fonctions linéaires : une fonction linéaire est une fonction qui a une pente constante. Elle peut être représentée par une droite sur un graphique. Les fonctions linéaires sont les plus simples à manipuler et à comprendre.

– Les fonctions polynomiales : une fonction polynomiale est une fonction qui est composée de plusieurs termes. Chacun de ces termes est une puissance de x (x, x², x³, etc.). Les fonctions polynomials sont plus complexes que les fonctions linéaires, mais peuvent être manipulées et compréhensibles si on a une bonne base de mathématiques.

– Les fonctions exponentielles : une fonction exponentielle est une fonction qui a une pente qui augmente ou diminue de façon exponentielle. Cela signifie que la fonction va de plus en plus vite ou de moins en moins vite. Les fonctions exponentielles sont plus complexes que les fonctions linéaires et polynomiales, mais peuvent être manipulées et compréhensibles si on a une bonne base de mathématiques.

1 Fonctions linéaires

1. Fonctions linéaires

Une fonction linéaire est une fonction mathématique qui associe à chaque élément x d’un ensemble E un unique élément y d’un ensemble F, de telle manière que pour tous les éléments x1 et x2 appartenant à E, on ait :

y1 = f(x1) = ax1 + b

y2 = f(x2) = ax2 + b

Or, on voit que les deux éléments y1 et y2 ne sont pas nécessairement distincts : si x1 = x2, alors y1 = y2. Cela signifie que la fonction linéaire f est une application qui n’est pas nécessairement injective.

Par ailleurs, on voit que pour tout x appartenant à E, on a :

f(x+1) = ax + b + a

f(x-1) = ax + b – a

f(2x) = a(2x) + b

f(x/2) = a(x/2) + b

Ainsi, la fonction linéaire f est entièrement déterminée par les valeurs qu’elle prend pour x = 0 et x = 1. On dit que f est une fonction affine.

2. Fonctions quadratiques

Une fonction quadratique est une fonction mathématique qui associe à chaque élément x d’un ensemble E un unique élément y d’un ensemble F, de telle manière que pour tous les éléments x1 et x2 appartenant à E, on ait :

y1 = f(x1) = ax1^2 + bx1 + c

y2 = f(x2) = ax2^2 + bx2 + c

Or, on voit que les deux éléments y1 et y2 ne sont pas nécessairement distincts : si x1 = x2, alors y1 = y2. Cela signifie que la fonction quadratique f est une application qui n’est pas nécessairement injective.

Par ailleurs, on voit que pour tout x appartenant à E, on a :

f(x+1) = ax^2 + bx + c + a

f(x-1) = ax^2 + bx + c – a

f(2x) = a(2x)^2 + b(2x) + c

f(x/2) = a(x/2)^2 + b(x/2) + c

Ainsi, la fonction quadratique f est entièrement déterminée par les valeurs qu’elle prend pour x = 0, x = 1 et x = -1. On dit que f est une fonction parabolique.

2 Fonctions polynôme

Une fonction polynôme est une fonction qui est définie par une expression polynomiale. C’est-à-dire une expression qui est composée d’une somme de termes, chacun étant le produit d’un nombre et d’une puissance de x. La fonction polynomiale la plus simple est x^0, qui correspond à la fonction constante f(x)=1.

Les fonctions polynomiales sont comme les nombres entiers : on peut les additionner, les soustraire, les multiplier et les diviser. Si on a deux fonctions polynomiales f(x) et g(x), alors on peut calculer (f+g)(x), (f-g)(x), (fg)(x) et (f/g)(x).

Lorsqu’on étudie les fonctions polynomiales, on s’intéresse souvent à leur graphe. Le graphe d’une fonction polynomiale est la collection de points (x,y) où x est un nombre et y est égal à f(x).

Par exemple, le graphe de la fonction polynomiale f(x)=x^2-4x+4 est représenté ci-dessous.

On peut faire plusieurs observations à propos du graphe de cette fonction :

-La fonction est croissante pour tout x>2.

-La fonction est décroissante pour tout x<2. -La fonction a une valeur minimale en x=2 et une valeur maximale en x=-2. -La fonction a une asymptote horizontale en y=4. -La fonction est paire, c’est-à-dire que f(x)=f(-x) pour tout x.

3 Fonctions exponentielles

Les fonctions exponentielles représentent une relation mathématique entre deux variables, x et y, dans laquelle y est une fonction de x, et x est une fonction de y. Les fonctions exponentielles sont couramment utilisées dans la vie quotidienne et sont importantes à comprendre pour les mathématiciens et les statisticiens.

Les fonctions exponentielles sont définies par une relation mathématique entre deux variables, x et y, dans laquelle y est une fonction de x, et x est une fonction de y. Les fonctions exponentielles sont couramment utilisées dans la vie quotidienne et sont importantes à comprendre pour les mathématiciens et les statisticiens.

Les fonctions exponentielles peuvent être utilisées pour modéliser une variété de phénomènes naturels, tels que la croissance des populations, la décroissance des populations, la diffusion de la chaleur, la propagation des ondes, la corrosion des métaux, etc. Les fonctions exponentielles sont également couramment utilisées en statistique, en particulier dans le cadre de la théorie des distributions.

4 Fonctions logarithmes

1) Fonction exponentielle : Soit x un réel, et a un réel positif différent de 1, alors :

f(x) = a^x

2) Fonction logarithme népérien : Soit x un réel strictement positif, alors :

f(x) = ln(x)

3) Fonction logarithme décimal : Soit x un réel strictement positif, et a un réel positif, alors :

f(x) = log_a(x)

4) Fonction logarithme barycentrique : Soit x un réel strictement positif, et a un réel positif, alors :

f(x) = (ln(x) + ln(a)) / 2

Exemples de fonctions

Une fonction est une relation entre une entrée et une sortie. En mathématiques, on représente une fonction par une flèche : l’entrée correspond à l’origine de la flèche et la sortie correspond à sa destination.

Il existe plusieurs types de fonctions :

– Les fonctions affines : une fonction est affine si elle peut s’exprimer sous la forme y = ax + b, avec a et b deux nombres réels.

– Les fonctions polynômiques : une fonction est polynômique si elle peut s’exprimer sous la forme y = a0 + a1x + a2x^2 + … + anx^n, avec a0, a1, a2, …, an deux nombres réels.

– Les fonctions exponentielles : une fonction est exponentielle si elle peut s’exprimer sous la forme y = a^x, avec a un nombre réel.

– Les fonctions logarithmiques : une fonction est logarithmique si elle peut s’exprimer sous la forme y = logax, avec a un nombre réel.

Conclusion

Pour résumer, les fonctions sont une relation entre une entrée et une sortie. Elles peuvent être représentées par des courbes ou des tableaux. Les fonctions peuvent avoir plusieurs inputs et outputs. Les fonctions peuvent être définies explicitement ou implicite.

Les fonctions sont un outil mathématique important qui peut être utilisé pour modéliser des situations réelles. Elles peuvent être utilisées pour trouver des solutions à des problèmes. Les fonctions sont également utilisées pour faire des prédictions.