Sommaire
Introduction
Vecteurs
1 Définition
2 Propriétés
3 Opérations
Droites
1 Définition
2 Equation
3 Propriétés
Plans
1 Définition
2 Equation
3 Propriétés
Conclusion
Introduction
Avant de rentrer dans le vif du sujet, il est important de rappeler certaines notions de géométrie euclidienne que sont les vecteurs, les droites et les plans de l’espace. Ces notions sont indispensables pour comprendre les concepts plus avancés que nous aborderons dans cet article.
Les vecteurs sont des objets mathématiques qui peuvent être définis comme des quantités ayant une direction et une magnitude. En géométrie euclidienne, on considère souvent les vecteurs comme des segments de droite orientés, c’est-à-dire des segments de droite munis d’une flèche indiquant la direction. La magnitude d’un vecteur est alors la longueur du segment de droite correspondant.
Les droites sont des objets mathématiques qui peuvent être définis comme des ensembles de points situés sur une même ligne. En géométrie euclidienne, on considère souvent les droites comme des lignes droites. Une droite peut être définie par deux points situés sur celle-ci, ou bien par un point situé sur la droite et une direction.
Les plans de l’espace sont des objets mathématiques qui peuvent être définis comme des ensembles de points situés sur une même surface. En géométrie euclidienne, on considère souvent les plans comme des plans parallèles. Un plan peut être défini par trois points situés sur celui-ci, ou bien par un point situé sur le plan et une direction.
Vecteurs
Les vecteurs sont des objets mathématiques qui ont une direction et une magnitude. Ils sont souvent représentés par des lignes droites, et peuvent être utilisés pour représenter des forces et des déplacements dans l’espace. Les vecteurs peuvent être ajoutés et soustraits, et peuvent être multipliés par un scalaire pour changer leur magnitude.
Les droites et les plans de l’espace sont des concepts mathématiques qui peuvent être utilisés pour représenter des objets physiques. Les droites peuvent être représentées par des vecteurs, et peuvent être utilisées pour représenter des lignes droites dans l’espace. Les plans peuvent être représentés par des vecteurs, et peuvent être utilisés pour représenter des surfaces planes dans l’espace.
1 Définition
L’espace est un ensemble de points ou de vecteurs. On peut définir un vecteur comme étant une direction et une magnitude. La magnitude d’un vecteur est la longueur du vecteur, tandis que la direction est la direction dans laquelle le vecteur pointe. Les vecteurs peuvent être représentés graphiquement en utilisant des flèches. La direction d’un vecteur est représentée par la direction de la flèche, tandis que la magnitude est représentée par la longueur de la flèche.
Les droites et les plans de l’espace sont des ensembles de vecteurs. Une droite peut être définie comme un ensemble de vecteurs qui ont tous la même direction. Un plan peut être défini comme un ensemble de vecteurs qui ont tous la même magnitude. Les droites et les plans peuvent être représentés graphiquement en utilisant des lignes droites.
Les vecteurs, les droites et les plans de l’espace sont des outils utiles pour la compréhension et l’étude de l’espace. Ces outils peuvent être utilisés pour étudier la géométrie de l’espace, les mouvements dans l’espace et les forces agissant dans l’espace.
2 Propriétés
1) Vecteurs et droites :
Un vecteur est une entité mathématique qui a une direction et une magnitude. Les vecteurs sont souvent représentés par des flèches. La magnitude d’un vecteur est sa longueur, tandis que sa direction est la direction de la flèche.
Les vecteurs peuvent être ajoutés et soustraits. Lorsque deux vecteurs sont ajoutés, on les dit « coordonnés ». La somme de deux vecteurs est un nouveau vecteur dont la direction est la même que la direction de la flèche la plus longue, et dont la magnitude est la somme des magnitudes des deux vecteurs.
Les vecteurs peuvent également être multipliés par un scalaire, ce qui signifie que la magnitude du vecteur est multipliée par le scalaire, mais sa direction reste inchangée.
Les droites sont des ensembles de points qui se trouvent sur une même ligne. Une droite peut être définie par deux points quelconques qui se trouvent sur la droite. La droite qui passe par ces deux points est appelée la « droite passing » ou la « droite determined ».
2) Plans :
Un plan est un ensemble de points situés dans l’espace qui sont alignés de manière à former une surface plate. Les plans peuvent être définis par trois points quelconques qui se trouvent sur le plan. Le plan qui passe par ces trois points est appelé le « plan passing » ou le « plan determined ».
3 Opérations
1) Les vecteurs
Un vecteur est une figure géométrique qui a une longueur et une direction. On peut l’imaginer comme une flèche qui part d’un point A et arrive à un point B. La longueur du vecteur correspond à la distance entre A et B, et la direction correspond à la direction de la flèche.
Pour déterminer la longueur d’un vecteur, on utilise la norme euclidienne. La norme euclidienne d’un vecteur est définie comme étant la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes. Par exemple, si un vecteur a pour composantes x = 3 et y = 4, alors sa norme euclidienne sera égale à racine carrée de 3² + 4², soit 5.
Pour déterminer la direction d’un vecteur, on utilise le cosinus de l’angle formé entre le vecteur et l’axe des x. Plus précisément, on utilise le cosinus de l’angle entre le vecteur et la droite des x passant par l’origine (0,0). Si ce cosinus vaut 1, cela signifie que le vecteur est parallèle à la droite des x, et donc que sa direction est horizontale. Si ce cosinus vaut -1, cela signifie que le vecteur est parallèle à la droite des x, mais dans l’autre sens, et donc que sa direction est horizontale (mais négative). Si ce cosinus vaut 0, cela signifie que le vecteur est perpendiculaire à la droite des x, et donc que sa direction est verticale.
Pour résumer, on peut déterminer la longueur d’un vecteur en utilisant la norme euclidienne, et on peut déterminer sa direction en utilisant le cosinus de l’angle entre le vecteur et l’axe des x.
2) Les droites
Une droite est une figure géométrique qui est définie par une equation. Une droite peut être horizontale, verticale ou oblique.
Une droite horizontale est une droite qui est parallèle à l’axe des x. Elle peut être représentée par une equation de la forme y = a, où a est un nombre réel quelconque.
Une droite verticale est une droite qui est parallèle à l’axe des y. Elle peut être représentée par une equation de la forme x = b, où b est un nombre réel quelconque.
Une droite oblique est une droite qui n’est ni horizontale ni verticale. Elle peut être représentée par une equation de la forme y = mx + b, où m est la pente de la droite et b est l’ordonnée à l’origine.
3) Les plans
Un plan est une figure géométrique qui est définie par une équation. Un plan peut être horizontal, vertical ou oblique.
Un plan horizontal
Droites
Nous avons vu précédemment ce qu’étaient les vecteurs et comment les représenter. Nous avons également vu comment les vecteurs peuvent être combinés pour former des droites et des plans. Dans cette sous-partie, nous allons nous concentrer sur les droites de l’espace.
Une droite est une suite de points alignés. Elle peut être représentée par un vecteur directeur et un point de passage. Le vecteur directeur est un vecteur qui pointe dans la même direction que la droite. Le point de passage est un point situé sur la droite.
Pour tracer une droite, on peut utiliser la méthode des points équidistants. On commence par choisir deux points A et B situés sur la droite. On calcule ensuite le vecteur AB. Enfin, on place des points équidistants du vecteur AB. La droite AB est alors tracée.
La droite peut également être définie par une équation. Une équation de la forme y = ax + b définit une droite avec a comme coefficient directeur et b comme ordonnée à l’origine.
Exemple :
Soit la droite AB de vecteur directeur <2,3,5>. Le point A a pour coordonnées (1,2,3) et le point B a pour coordonnées (3,5,8). La droite AB est donc représentée par l’équation :
y = 2x + 3.
La droite peut aussi être définie par une équation vectorielle. Une équation vectorielle de la forme r = r0 + t.v définit une droite passant par le point r0 et de vecteur directeur v.
Exemple :
Soit la droite AB de vecteur directeur <2,3,5> et de point de passage r0 = (1,2,3). La droite AB est donc représentée par l’équation vectorielle :
r = (1,2,3) + t.<2,3,5>.
1 Définition
Il y a trois types de grandeurs vectoriels : les vecteurs, les droites et les plans. Les vecteurs sont des objets mathématiques qui ont une magnitude et une direction. Ils peuvent être représentés par des flèches. Les droites sont des ensembles de points qui se trouvent alignés. Elles peuvent être représentées par des lignes droites. Les plans sont des ensembles de points qui se trouvent dans le même plan. Ils peuvent être représentés par des plans (ou des lignes droites).
2 Equation
Il y a deux types d’équations qui sont couramment utilisés pour décrire les vecteurs, les droites et les plans dans l’espace : les équations paramétriques et les équations cartésiennes. Les équations paramétriques sont généralement utilisées lorsque vous avez besoin de décrire une courbe ou une surface, tandis que les équations cartésiennes sont utilisées lorsque vous avez besoin de décrire une droite ou un plan.
Les équations paramétriques sont des équations qui définissent les coordonnées d’un point en fonction d’un paramètre. Par exemple, si vous avez une courbe définie par les équations x = cos(t) et y = sin(t), alors vous pouvez déterminer les coordonnées du point pour toutes les valeurs de t. Les équations paramétriques sont souvent utilisées pour décrire les vecteurs, les droites et les plans dans l’espace, car elles peuvent être utilisées pour décrire des courbes et des surfaces.
Les équations cartésiennes sont des équations qui définissent les coordonnées d’un point en fonction de ses coordonnées cartésiennes. Par exemple, si vous avez une droite définie par l’équation y = mx + b, alors vous pouvez déterminer les coordonnées du point pour toutes les valeurs de x. Les équations cartésiennes sont souvent utilisées pour décrire les droites et les plans dans l’espace, car elles sont plus simples que les équations paramétriques.
Les équations paramétriques et les équations cartésiennes sont toutes deux utiles pour décrire les vecteurs, les droites et les plans de l’espace. Les équations paramétriques sont généralement utilisées lorsque vous avez besoin de décrire une courbe ou une surface, tandis que les équations cartésiennes sont utilisées lorsque vous avez besoin de décrire une droite ou un plan.
3 Propriétés
Vecteurs, droites et plans de l’espace : Fiche de révision
1) Vecteurs et droites
Un vecteur est un objet mathématique qui a une direction et une magnitude. On peut l’imaginer comme une flèche, qui pointe dans une certaine direction et a une certaine longueur.
Les vecteurs peuvent être utilisés pour représenter des objets physiques tels que les forces. La magnitude d’un vecteur représente la force de l’objet, tandis que la direction représente la direction dans laquelle l’objet se déplace.
Les vecteurs peuvent être ajoutés et soustraits. Lorsque deux vecteurs sont ajoutés, on les dit « parallèles ». Si les deux vecteurs ont la même direction, on dit qu’ils sont « colinéaires ».
Une droite est un ensemble de points qui se déplacent dans une direction fixe. Elle peut être représentée mathématiquement comme un vecteur.
2) Plans de l’espace
Un plan est un ensemble de points situés dans l’espace qui se déplacent de manière à rester parallèles. On peut imaginer un plan comme une feuille de papier, qui est toujours parallèle à elle-même.
Les plans peuvent être utilisés pour représenter des objets physiques tels que les surfaces. La magnitude d’un plan représente la surface de l’objet, tandis que la direction représente l’orientation de l’objet.
Les plans peuvent être ajoutés et soustraits. Lorsque deux plans sont ajoutés, on les dit « parallèles ». Si les deux plans ont la même direction, on dit qu’ils sont « colinéaires ».
3) Vecteurs, droites et plans de l’espace : Fiche de révision
1) Vecteurs et droites
Un vecteur est un objet mathématique qui a une direction et une magnitude. On peut l’imaginer comme une flèche, qui pointe dans une certaine direction et a une certaine longueur.
Les vecteurs peuvent être utilisés pour représenter des objets physiques tels que les forces. La magnitude d’un vecteur représente la force de l’objet, tandis que la direction représente la direction dans laquelle l’objet se déplace.
Les vecteurs peuvent être ajoutés et soustraits. Lorsque deux vecteurs sont ajoutés, on les dit « parallèles ». Si les deux vecteurs ont la même direction, on dit qu’ils sont « colinéaires ».
Une droite est un ensemble de points qui se déplacent dans une direction fixe. Elle peut être représentée mathématiquement comme un vecteur.
2) Plans de l’espace
Un plan est un ensemble de points situ
Plans
Les plans sont des surfaces qui séparent l’espace en deux parties. Ils peuvent être représentés par une droite (dans ce cas, on parle de droite-plan) ou par un vecteur (dans ce cas, on parle de vecteur-plan).
Pour tracer un plan, on a besoin de deux points qui ne sont pas alignés. Si on a trois points alignés, on dit qu’ils sont coplanaires.
Les plans peuvent être classés en fonction de leur orientation :
– Parallèles : deux plans sont dits parallèles si aucune de leurs droites ne s’intersecte.
– perpendiculaires : deux plans sont dits perpendiculaires si l’un de leurs vecteurs est orthogonal au vecteur de l’autre.
1 Définition
Les vecteurs, droites et plans de l’espace sont des concepts fondamentaux en géométrie. Ils sont souvent utilisés pour décrire et analyser les figures géométriques.
Les vecteurs sont des objets mathématiques qui peuvent être utilisés pour représenter des points, des lignes ou des directions dans l’espace. Ils sont définis par une direction et une longueur. Les vecteurs peuvent être additionnés et soustraits, et ils peuvent être multipliés par un scalaire.
Les droites sont des objets mathématiques qui représentent des lignes droites dans l’espace. Elles sont définies par deux points qui sont situés sur la droite. Les droites peuvent être perpendiculaires ou parallèles.
Les plans sont des objets mathématiques qui représentent des surfaces planes dans l’espace. Ils sont définis par trois points qui sont situés sur le plan. Les plans peuvent être parallèles ou perpendiculaires.
2 Equation
1) Vecteurs et coordonnées cartésiennes
Un vecteur est une entité mathématique qui a une direction et une magnitude. On peut représenter un vecteur à l’aide de coordonnées cartésiennes. Les coordonnées cartésiennes d’un vecteur sont les composantes du vecteur le long de chaque axe d’un repère cartésien.
Pour un vecteur en 3 dimensions, on a besoin de 3 coordonnées cartésiennes pour le représenter. Ces coordonnées sont les composantes du vecteur le long des axes x, y et z d’un repère cartésien.
2) Vecteurs et coordonnées polaires
Les coordonnées polaires d’un vecteur sont les composantes du vecteur le long des axes radial et tangentiel d’un repère polaire.
Pour un vecteur en 3 dimensions, on a besoin de 3 coordonnées polaires pour le représenter. Ces coordonnées sont les composantes du vecteur le long des axes radial et tangentiel d’un repère polaire.
3) Vecteurs et coordonnées cylindriques
Les coordonnées cylindriques d’un vecteur sont les composantes du vecteur le long des axes radial et axial d’un repère cylindrique.
Pour un vecteur en 3 dimensions, on a besoin de 3 coordonnées cylindriques pour le représenter. Ces coordonnées sont les composantes du vecteur le long des axes radial et axial d’un repère cylindrique.
4) Vecteurs et coordonnées sphériques
Les coordonnées sphériques d’un vecteur sont les composantes du vecteur le long des axes radial et tangentiel d’un repère sphérique.
Pour un vecteur en 3 dimensions, on a besoin de 3 coordonnées sphériques pour le représenter. Ces coordonnées sont les composantes du vecteur le long des axes radial et tangentiel d’un repère sphérique.
3 Propriétés
1) Vecteurs
Un vecteur est un objet mathématique qui a une direction et une magnitude. On peut l’imaginer comme une flèche qui pointe dans une certaine direction et qui a une certaine longueur. Les vecteurs peuvent être utilisés pour représenter des quantités telles que la vitesse, l’accélération, la force, etc.
2) Droites
Une droite est un ensemble de points qui se trouvent tous sur la même ligne. Elle peut être représentée mathématiquement par une équation de la forme y = mx + b, où m est le coefficient directeur et b est l’ordonnée à l’origine.
3) Plans
Un plan est un ensemble de points qui se trouvent tous sur la même surface. Il peut être représenté mathématiquement par une équation de la forme ax + by + cz + d = 0, où a, b et c sont les coefficients directeurs et d est l’ordonnée à l’origine.
Conclusion
La conclusion de cet article est simple : si vous avez compris les bases de la géométrie, vous serez en mesure de manipuler avec aisance les vecteurs, droites et plans de l’espace. Ces concepts sont en effet fondamentaux pour la compréhension de nombreux phénomènes physiques et leur maîtrise vous permettra d’aborder avec succès de nombreuses applications.